Strategi Menyelesaikan Soal Olimpiade Matematika #3 Menemukan Pola

Pola sangat banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari dan strategi menemukan pola termasuk salah satu strategi yang sangat penting dalam menyelesaikan soal olimpiade matematika.

Untuk dapat menemukan pola diperlukan pengamatan, strategi coba-coba,  dan juga membuat daftar. Percobaan atau pengamatan perlu dilakukan dengan teliti, sebab barisan atau informasi yang diketahui dari soal jumlahnya terbatas, mungkin hanya 3 atau 4 bilangan atau data. Nah dari hasil pengamatan dan percobaan beberapa contoh penyelesaian pada soal kemudian diambil kesimpulan tentang pola apa  dan bagaimana yang sesuai dengan permasalahan tersebut. Selain itu, melihat sebuah permasalahan dari beberapa sudut pandang juga dapat membantu menemukan pola yang tepat dari soal.

Pola dalam soal matematika dapat muncul dalam beberapa bentuk, diantaranya adalah

1. Pola bilangan

2. Pola geometris

3. Pola huruf atau kata

Contoh Soal 1: Pola Bilangan

Tiga bilangan berikutnya dari barisan bilangan 2014, 2018, 2022, 2026, ... adalah ...

Bagaimana langkah-langkah menemukan pola dari soal di atas?

Berikut ini adalah langkah-langkahnya:

• Perhatikan bilangan pertama dan kedua, lalu lihat perbedaan dan keterkaitannya.
• Dapat dilihat bahwa 2018 adalah 2014+4. Kemudian kita simpulkan sementara bahwa bilangan kedua adalah bilangan pertama ditambah 4.
• Perhatikan bilangan kedua dan ketiga, lalu lihat perbedaan dan keterkaitannya.
• Dapat dilihat bahwa 2022 adalah 2018+4. Nah kemudian kita semakin kuat menduga bahwa bilangan berikutnya adalah 4 ditambah bilangan sebelumnya.
• Perhatikan lagi bilangan ketiga dan keempat dan uji pola yang ditemukan dari kesimpulan sebelumnya.
• Dapat kita lihat bahwa 2026=2022+4. Nah ternyata dugaan kita ternyata benar bahwa bilangan berikutnya adalah bilangan sebelumnya ditambah 4.
• Jadi tiga bilangan selanjutnya adalah 2030, 2034, dan 2038.

Contoh Soal 2: Pola Bilangan

Berapakah angka satuan dari 3⁹⁹?

Penyelesaian:

Dari soal di atas dapat kita lihat bahwa kita tidak mungkin menghitung secara langsung berapa nilai dari 3⁹⁹ untuk mengetahui angka satuannya. Proses tersebut sangat menghabiskan waktu yang sangat lama. Oleh karena itu kita perlu menemukan pola perpangkatan bilangan 3 sehingga dapat ditemukan angka satuan dari 3⁹⁹.

Perhatikan bahwa

3¹=3

3²=9

3³=27

3⁴=81

3⁵=243

3⁶=729

3⁷=2187

3⁸=6561

Dari daftar di atas dapat kita lihat bahwa angka satuan pada perpangkatan bilangan 3 adalah 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...dst.

Dapat kita lihat pula bahwa dari daftar ini terjadi pola pengulangan angka setiap empat bilangan, yaitu 3, 9, 7, 1. Artinya pola ke-5 sama dengan pola ke-1, pola ke-6 sama dengan pola ke-2, pola ke-7 sama dengan pola ke-3, dan pola ke-8 sama dengan pola ke-4, dan begitu juga dengan pengulangan berikutnya.

Kemudian karena 99=4x24+3 yang artinya 99 dibagi 4 bersisa 3, berarti pola ke-99 sama dengan pola ke-3 yaitu 7. Jadi angka satuan pada bilangan 3⁹⁹ adalah 7.

Contoh Soal 3: Pola Geometris

Sebuah lingkaran dapat dibagi menjadi 7 bagian menggunakan 3 garis lurus. Berapa bagian paling banyak jika dibagi menggunakan 7 garis lurus?

Penyelesaian:

Soal di atas berkaitan dengan bangun geometri, yaitu lingkaran dan garis. Namun pada soal belum diberikan gambaran ilustrasi dari soal. Dalam hal ini kita perlu membuat gambar sebagai ilustrasi dari soal untuk memperdalam pemahaman tentang soal dan juga untuk menemukan pola penyelesaiannya. Lebih jauh tentang strategi membuat gambar/diagram bisa dibaca di sini.

Gambar ilustrasi dari soal di atas adalah sebagai berikut.

Dari ilustrasi di atas dapat kita lihat bahwa dari 3 garis dapat dibentuk paling banyak 7 bagian lingkaran. 

Nah selanjutnya yang ditanyakan soal adalah dengan menggunakan 7 garis. Kemudian kita akan mencari polanya dari awal, artinya berapa banyak daerah yang terbentuk jika menggunakan 0 garis, 1 garis, 2 garis, dan 3 garis. Selanjutnya mencari rumus polanya. Jika dari keempat data itu belum cukup untuk menyimpulkan maka bisa ditambah lagi dengan garis ke-4.

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa:

0 garis menghasilkan 1 daerah

1 garis menghasilkan 2 daerah

2 garis menghasilkan 4 daerah

3 garis menghasilkan 7 daerah

Dari keempat data ini kita bisa mencoba menemukan polanya. Beberapa percobaan/dugaan pola yang mungkin kita temukan adalah

1. Banyak garis ditambah 1 (hanya berlaku untuk banyak garis 0 tetapi tidak berlaku untuk yang lain)
2. Dua kali banyak garis (hanya berlaku untuk banyak garis 1 dan 2 tetapi tidak berlaku untuk yang lain)
3. Dua kali banyak garis ditambah 1 (hanya berlaku untuk banyak garis 3 tetapi tidak berlaku untuk yang lain)

Nah setelah melakukan 3 kali percobaan dan belum berhasil, pilihan kita selanjutnya bisa mengulangi mencari pola yang baru lagi, atau menambah banyak garis menjadi 4. Hal ini terkadang menjadi petunjuk baru untuk menemukan polanya. 

Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa dengan 4 garis dapat dibentuk paling banyak menjadi 11 daerah. Kemudian data ini kita tambahkan ke data yang telah kita temukan sebelumnya.

0 garis menghasilkan 1 daerah

1 garis menghasilkan 2 daerah

2 garis menghasilkan 4 daerah

3 garis menghasilkan 7 daerah

4 garis menghasilkan 11 daerah

Nah sekarang sudah semakin kelihatan tanda-tanda polanya. Kita lihat banyak garis di sebelah kiri adalah 0, 1, 2, 3, dan 4. Kemudian banyak daerah di sebelah kanan adalah 1, 2, 3, 4, 7, dan 11.

Coba perhatikan banyak daerah dari hasil 4 garis, ternyata hasilnya 11

Coba perhatikan banyak daerah dari hasil 3 garis, ternyata hasilnya 7.

Dari dua data di atas kemudian kita coba lihat keterkaitannya. 

11 itu berasal dari 4+7 (banyak garis adalah 4 ditambah banyak daerah sebelumnya)

7 itu berasal dari 3+4 (banyak garis adalah 3 ditambah banyak daerah sebelumnya)

4 itu berasal dari 2+2 (banyak garis adalah 2 ditambah banyak daerah sebelumnya)

2 itu berasal dari 1+1 (banyak garis adalah 1 ditambah banyak daerah sebelumnya)

1 itu berasal dari 0+1 (banyak garis adalah 0 ditambah 1)

Nah ternyata dugaan pola kita memenuhi semuanya. Berarti dugaan kita benar. Maka:

Banyak daerah jika menggunakan 5 garis adalah 5+11=16

Banyak daerah jika menggunakan 6 garis adalah 6+16=22

Banyak daerah jika menggunakan 7 garis adalah 7+22=29.

Jadi jawaban akhir dari soal di atas adalah 29 bagian.

Contoh Soal 4: Pola Huruf/Kata

Jika kata matematika ditulis secara berulang-ulang tanpa menggunakan spasi menjadi MATEMATIKAMATEATIKAMATEMATIKA..., maka huruf pada urutan ke-100 adalah huruf...

Penyelesaian:

• Banyak huruf pada kata MATEMATIKA adalah 10. Artinya huruf ke-11 akan sama dengan huruf ke-1, huruf ke-12 sama dengan huruf ke-2, dan seterusnya.
• Karena 100 dibagi 10 adalah 10 dan tidak bersisa, maka huruf ke 100 sama dengan huruf ke 10 yaitu A.

Jadi huruf ke-100 adalah huruf A

Bagikan tulisan ini